Question

2．从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展开式中x⁹的系数为m的选项是（　　）

• A． （1+x）（1+x²）（1+x³）…（1+x¹¹）
• B． （1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+11x）
• C． （1+x）（1+2x²）（1+3x³）…（1+11x¹¹）
• D． （1+x）（1+x+x²）（1+x+x²+x³）…（1+x+x²+…+x¹¹）

Answer 1

分析 x⁹是由x、x²、x³、x⁴、x⁵、x⁶、x⁷、x⁸、x⁹、x¹⁰、x¹¹中的指数和等于9 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个 x⁹．各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示9克的方法．结合二项式定理及其排列组合的运算性质即可得出．

解答 解：x⁹是由x、x²、x³、x⁴、x⁵、x⁶、x⁷、x⁸、x⁹、x¹⁰、x¹¹中的指数和等于9 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个 x⁹．
各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示9克的方法．
故“从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个．
使其总重量恰为9克的方法总数”，
就是“（1+x）（1+x²）（1+x³）…（1+x¹⁰）（1+x¹¹）”的展开式中x⁹的系数”，
故选：A．

点评 本题考查了二项式定理的应用、排列组合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．