Question

17．在边长为1的等边△ABC中，P为直线BC上一点，若$\overrightarrow{AP}=（2-λ）\overrightarrow{AB}+2λ\overrightarrow{AC}，λ∈R$，则λ=-1，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由P为直线BC上一点便可得出$\overrightarrow{AP}=（1-k）\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}$，这样由平面向量基本定理即可得出2-λ+2λ=1，求出λ=-1，从而得出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}=（3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AC}$，根据条件进行数量积的运算便可求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：如图，
P为直线BC上一点；
∴设$\overrightarrow{BP}=k\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=k（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AP}=（1-k）\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AP}=（2-λ）\overrightarrow{AB}+2λ\overrightarrow{AC}$；
∴2-λ+2λ=1；
∴λ=-1；
∴$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}=（3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AC}$
=$3\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-2{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$3×1×1×\frac{1}{2}-2×{1}^{2}$
=$-\frac{1}{2}$．
故答案为：-1，-$\frac{1}{2}$．

点评 考查共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式．