Question

6．如图，正方形ABCD的边长为2$\sqrt{2}$，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，且FO⊥平面ABCD，FO=$\sqrt{3}$．
（1）求证：FC∥平面ADE；
（2）求三棱锥O-ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AE，CF，通过证明平面BCF∥平面ADE，得出CF∥平面ADE；
（2）S_△AOD=$\frac{3}{4}{S}_{△ACD}$，代入V_O-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△AOD}•FO$求出体积．

解答 （1）证明：连结AE，CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，∵AD?平面ADE，BC?平面ADE，
∴BC∥平面ADE，
同理：BF∥平面ADE，
∵BC?平面BCF，BF?平面BCF，BC∩BF=B，
∴平面平面BCF∥平面ADE，
∵FC?平面BCF，∴FC∥平面ADE．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为2$\sqrt{2}$，O为GC的中点，
∴AO=$\frac{3}{4}AC$，
∴S_AOD=$\frac{3}{4}{S}_{ACD}$=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（2\sqrt{2}）^{2}$=3．
∵四边形BDEF是平行四边形，FO⊥平面ABCD，FO=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥E-ADO的高为$\sqrt{3}$．
∴V_O-ADE=V_E-AOD=$\frac{1}{3}{S}_{△AOD}•FO$=$\frac{1}{3}×3×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．