Question

7．双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的两支分别交于点P、Q．若△PQF₂为等边三角形，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 7

Answer 1

分析 根据双曲线的定义，建立方程关系求出OF₁，QF₁的大小，利用余弦定理进行求解即可．

解答 解：作出相应的图象如图：
设△PQF₂的边长为x，
则|PF₁|-|PF₂|=2a，
即|QF₁|=2a，
由|QF₂|-|QF₁|=2a，
则|QF₂|=|QF₁|+2a=2a+2a=4a，
即x=4a，
∵∠F₁QF₂=120°，
∴在三角形QF₁F₂，中，
4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$），
即4c²=4a²+16a²+8a²=28a²，
即c²=7a²，
则c=$\sqrt{7}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义建立方程关系，以及利用余弦定理结合双曲线离心率的定义是解决本题的关键．