Question

7．设a，b是不相等的两个正数，且blna-alnb=a-b，给出下列结论：①a+b-ab＞1；②a+b＞2；③$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$＞2．其中所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①由blna-alnb=a-b得$\frac{1+lna}{a}$=$\frac{1+lnb}{b}$，构造函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，判断a，b的取值范围即可．
②由对数平均不等式进行证明，
③构造函数，判断函数的单调性，进行证明即可．

解答 解：①由blna-alnb=a-b，得blna+b=alnb+a，即$\frac{1+lna}{a}$=$\frac{1+lnb}{b}$，
设f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，
则f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$=，
由f′（x）＞0得-lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，
由f′（x）＜0得-lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，
即当x=1时，函数f（x）取得极大值，
则$\frac{1+lna}{a}$=$\frac{1+lnb}{b}$，等价为f（a）=f（b），
则a，b一个大于1，一个小于1，
不妨设0＜a＜1，b＞1．
则a+b-ab＞1等价为（a-1）（1-b）＞0，
∵0＜a＜1，b＞1．∴（a-1）（1-b）＞0，则a+b-ab＞1成立，故①正确，
②由即$\frac{1+lna}{a}$=$\frac{1+lnb}{b}$，
得$\frac{lna+lnb+2}{a+b}$=$\frac{lna-lnb}{a-b}$，
由对数平均不等式得$\frac{lna+lnb+2}{a+b}$=$\frac{lna-lnb}{a-b}$＞$\frac{2}{a+b}$，
即lna+lnb＞0，即lnab＞0，
则ab＞1，
由均值不等式得a+b＞2，故②正确，
③令g（x）=-xlnx+x，则g′（x）=-lnx，
则由g′（x）＞0得-lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，此时g（x）为增函数，
由g′（x）＜0得-lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，此时g（x）为减函数，
再令h（x）=g（x）-g（2-x），0＜x＜1，
则h′（x）=g′（x）+g′（2-x）=-lnx-lm（2-x）=-ln[x（2-x）]＞0，
则h（x）=g（x）-g（2-x），在0＜x＜1上为增函数，
则h（x）=g（x）-g（2-x）＜h（1）=0，
则g（x）＜g（2-x），
即g（$\frac{1}{a}$）＜g（2-$\frac{1}{a}$），
∵g（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$lna=$\frac{1+lna}{a}$=$\frac{1+lnb}{b}$，
∴g（$\frac{1}{a}$）=g（$\frac{1}{b}$）
则g（$\frac{1}{b}$）=g（$\frac{1}{a}$）＜g（2-$\frac{1}{a}$），
∵g（x）在0＜x＜1上为增函数，
∴$\frac{1}{b}$＞2-$\frac{1}{a}$，
即$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$＞2．
故③正确，
故选：D

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及不等式的证明，利用构造法，结合函数的单调性和导数的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．