Question

10．已知双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率$\sqrt{5}$，则该双曲线的一条渐近线被圆C：x²+y²-2x-3=0截得的弦长为（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得b=2a，求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆的圆心和半径，求得圆心到渐近线的距离，再由弦长公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
即c=$\sqrt{5}$a，即有b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2a，
设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，即为y=2x，
圆C：x²+y²-2x-3=0的圆心C为（1，0），半径r=2，
即有圆心到渐近线的距离为d=$\frac{2}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
可得截得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{4}{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查直线和圆相交的弦长的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．