Question

7．如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形．侧棱长为5，平面ABCD⊥平面A₁ACC₁，AB=3$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，点E是△ABD的重心，且A₁E=4．
（1）求证：平面A₁DC₁∥平面AB₁C；
（2）求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由AA₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁得四边形A₁ACC₁是平行四边形，故A₁C₁∥AC．于是A₁C₁∥平面AB₁C．同理可证DC₁∥平面AB₁C，故平面A₁DC₁∥平面AB₁C；
（2）由等边三角形性质计算AE=3，由勾股定理的逆定理得出A₁E⊥AC，从而A₁E⊥平面ABCD，即A₁E为棱柱的高．代入体积公式计算即可．

解答 （1）证明：∵AA₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁，
∴四边形A₁ACC₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC．∵AC?平面AB₁C，A₁C₁?平面AB₁C，
∴A₁C₁∥平面AB₁C．
同理可证：DC₁∥平面AB₁C，
∵A₁C₁⊆平面A₁DC₁，DC₁⊆平面A₁DC₁，A₁C₁∩DC₁=C₁，
∴平面A₁DC₁∥平面AB₁C．
（2）解：连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵点E是△ABD的重心，AB=3$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}AB$=3．又AA₁=5，A₁E=4，
∴$AA_1^2={A_1}{E^2}+A{E^2}$，即A₁E⊥AC，
又∵平面ABCD⊥平面A₁ACC₁，平面ABCD∩平面A₁ACC₁=AC，A₁E⊆平面A₁ACC₁，
∴A₁E⊥平面ABCD．
∵S_菱形ABCD=2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×3\sqrt{3}×sin60°$=$\frac{27\sqrt{3}}{2}$，
∴棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=S_菱形ABCD•A₁E=54$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了面面平行的判定，面面垂直的性质，棱柱的体积计算，属于中档题．