Question

17．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且S₈＞S₉＞S₇，给出下列四个命题：
①d＜0； 
②S₁₆＜0； 
③数列{S_n}中的最大项为S₁₅；
④|a₈|＞|a₉|．
其中正确命题有①④．

Answer 1

分析 由S₈＞S₉，且S₉=S₈+a₉，得到a₉＜0，由S₈＞S₇，S₈=S₇+a₈，得到a₈＞0，从而d=a₉-a₈＜0；由S₉＞S₇，得到a₈+a₉＞0，得到S₁₆=8（a₈+a₉）＞0；由a₈＞0，a₉＜0，得数列{S_n}中的最大项为S₈，；由8（a₈+a₉）＞0，得|a₈|＞|a₉|．

解答 解：∵S₈＞S₉，且S₉=S₈+a₉，
∴S₈＞S₈+a₉，即a₉＜0，
又S₈＞S₇，S₈=S₇+a₈，
∴S₇+a₈＞S₇，即a₈＞0，
∴d=a₉-a₈＜0，故①为真命题；
∵S₉＞S₇，S₉=S₇+a₈+a₉，
∴S₇+a₈+a₉＞S₇，即a₈+a₉＞0，
又∵a₁+a₁₅=2a₈，
∴S₁₅=$\frac{15（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=15a₈＞0，
又∵a₁+a₁₆=a₈+a₉，
∴S₁₆=$\frac{16（{a}_{1}+{a}_{16}）}{2}$=8（a₈+a₉）＞0，故②错误；
又a₁+a₁₇=2a₉，
∴S₁₇=$\frac{17（{a}_{1}+{a}_{17}）}{2}$=17a₉＜0，
∵a₈＞0，a₉＜0，∴数列{S_n}中的最大项为S₈，故③错误；
∵8（a₈+a₉）＞0，∴|a₈|＞|a₉|，故④正确；
故答案为：①④．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．