Question

5．函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x＞0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x．
（1）求 f（-4）的函数值；
（2）求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用f（-4）=f（4），代入解析式求值；
（2）设x＜0，则-x＞0，得到f（-x），利用函数为偶函数，得到x＜0时的解析式，最后表示R上的解析式．

解答 解：（1）∵f（-4）=f（4）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}4=-lo{g}_{2}4$=-2，
（2）当x＜0时，-x＞0，
则f（-x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x）$，
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴f （x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$ （-x）．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x＞0}\\{0，x=0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x），x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的性质运用；关键是利用已知函数为偶函数将所求转化为已知解析式的自变量范围内．