Question

18．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，前3项和S₃=15．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ） 求数列{2${\;}^{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由等差数列的性质可知：3a₂=15，求得a₂=5，由d=a₃-a₂=2，再利用等差数列通项公式的性质，即可求得数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）由${2}^{{a}_{n}}$=2²ⁿ⁺¹，可知数列{${2}^{{a}_{n}}$}是以2³，为首项，以4为公比的等比数列，T_n=2³+2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹，根据等比数列前n项和公式，即可求得数列{${2}^{{a}_{n}}$}的前n项和T_n，．

解答 解：（Ⅰ）∵设等差数列的公差为d，
由等差数列的性质可知：S₃=3a₂，则3a₂=15，即a₂=5，
由d=a₃-a₂=2，
∴由等差数列的通项公式可得：a_n=a₃+2（n-3）=2n+1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n+1，…（3分）
a₁=3，
∴前n项和S_n，S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=n²+2n，
数列{a_n}的前n项和S_n，S_n=n²+2n；                       …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：${2}^{{a}_{n}}$=2²ⁿ⁺¹，可知数列{${2}^{{a}_{n}}$}是以2³，为首项，以4为公比的等比数列，
数列{${2}^{{a}_{n}}$}的前n项和T_n，T_n=2³+2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹，
=$\frac{{2}^{3}-{2}^{2n+1}•{2}^{2}}{1-{2}^{2}}$=$\frac{{2}^{2n+3}-8}{3}$=$\frac{8（{4}^{n}-1）}{3}$，
数列{${2}^{{a}_{n}}$}的前n项和T_n，T_n=$\frac{8（{4}^{n}-1）}{3}$． …（10分）

点评 本题考查等差数列的性质，通项公式及前n项和公式的应用，考查等比数列前n项和，考查计算能力，属于中档题．