Question

4．顶点在原点，焦点在x轴正半轴的抛物线，经过点（3，6），
（1）求抛物线截直线y=2x-6所得的弦长．
（2）讨论直线y=kx+1与抛物线的位置关系，并求出相应的k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆的方程为：y²=2px，（p＞0），由抛物线经过点（3，6），代入即可求得p的值，求得抛物线方程，将y=2x-6代入y²=12x，由韦达定理求得x₁+x₂=9，x₁x₂=9，根据弦长公式可知：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，即可求得抛物线截直线y=2x-6所得的弦长；
（2）当k=0时，y=1，直线与抛物线有一个交点，当k≠0时，将y=kx+1代入抛物线方程，由△＞0，直线与抛物线有两个交点，求得k的取值范围，当△＜0，直线与抛物线相离，无交点，求得k的取值范围，当△=0，直线与抛物线相切，仅有几个交点，求得k的取值．

解答 解：由题意可知：设椭圆的方程为：y²=2px，（p＞0），
由抛物线经过点（3，6），
∴36=2×p×3，解得：p=6，
∴抛物线方程为：y²=12x，
设直线y=2x-6与抛物线两交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=2x-6}\end{array}\right.$，整理得：x²-9x+9=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=9，x₁x₂=9，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{{9}^{2}-4×9}$=15，
抛物线截直线y=2x-6所得的弦长15，
（2）当k=0时，y=1，直线与抛物线有一个交点，
当k≠0时，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{y}^{2}=12x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²+2（k-6）x+1=0，
当△=4（k-6）²-4k²＞0，解得：k＜3，
∴直线与抛物线有两个交点，
△=4（k-6）²-4k²＜0，解得：k＞3，
直线与抛物线无交点，
当△=4（k-6）²-4k²=0，即k=3时，
直线与抛物线有一个交点，
综上可知：当k＞3时，直线y=kx+1与抛物线相离，即直线与抛物线无交点，
当k=3时，直线y=kx+1与抛物线相切，直线与抛物线有一个交点，
当k＜3且k≠0，直线与抛物线相交，有两个交点，
当k=0时，直线与抛物线相交，有一个交点．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，韦达定理，利用判别式法，求直线与圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．