Question

19．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1内一点（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在直线的斜率是（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），代入椭圆方程，两式相减可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}+\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}=0$根据中点坐标，根据中点坐标公式，求得k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$．

解答 解：设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则有$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$②，
①-②式可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}+\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}=0$，又点A为弦EF的中点，且A（2，1），
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
即得k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
该弦所在直线的斜率-$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，中点坐标公式，考查点差法的应用，属于中档题．