Question

7．.已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）若定点P（1，1）分弦AB为$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据直线l的方程可得直线经过定点H（1，1），而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，命题得证．
（2）把线段的长度比转化为两个向量的关系，由向量的坐标运算得到A，B两点横坐标间的关系，联立直线与圆的方程化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，求出其中一点的横坐标，最后再代入关于x的方程得到关于m的方程，求解得到m的值，则直线方程可求．

解答 解：（1）由于直线l的方程是mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），经过定点H（1，1），
而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径$\sqrt{5}$，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，
故直线和圆恒有两个交点．；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PB}$，
∴1-x₁=$\frac{1}{2}$（x₂-1），化简的x₂=3-2x₁…①
又由直线代入圆的方程，消去y得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0…（*）
∴x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$…②
由①②解得x₁=$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$代入（*）式解得m=±1，
∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0

点评 本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆的关系，体现了数学转化思想方法，考查了学生的灵活处理问题的能力和计算能力，是中高档题．