Question

2．命题P：将函数sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象；命题Q：函数y=sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{π}{3}$-x）的最小正周期是π，则复合命题“P或Q”“P且Q”“非P”为真命题的个数是2个．

Answer 1

分析 先分别判断命题P和Q的真假，将sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数y=sin2（x-$\frac{π}{3}$）=sin（2x-$\frac{2π}{3}$），故命题P为假命题，y=sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{π}{3}-x）$=$\frac{1}{2}cos（2x-\frac{2π}{3}）+\frac{1}{2}$，周期T=π，故命题Q为真．再根据真值表分别判断“P或Q”“P且Q”“非P”的真假性即可．

解答 解：对于命题P：将sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数y=sin2（x-$\frac{π}{3}$）=sin（2x-$\frac{2π}{3}$），
故命题P为假命题；
对于命题Q：y=sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{π}{3}$-x）=sin[$\frac{π}{2}-（\frac{π}{3}-x）$]cos（$\frac{π}{3}-x$）=$co{s}^{2}（\frac{π}{3}-x）$=$\frac{1+cos（\frac{2π}{3}-2x）}{2}$=$\frac{1}{2}cos（2x-\frac{2π}{3}）+\frac{1}{2}$，周期T=$\frac{2π}{2}=π$，故命题Q为真命题．
根据真值表，“P或Q“为真命题，“P且Q“为假命题，“非P“为真命题．
故答案为：2．

点评 本题主要考察了复合命题p或q，p且q，非p的真假性判断，解题的关键是熟练应用三角函数的图象的平移，及诱导公式、二倍角公式．