Question

（本小题满分12分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，F（2，0）是它的一个焦点．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点F作互相垂直的两条直线l₁、l₂，l₁交双曲线于A、B两点，l₂交双曲线于C、D两点，

求的值．

Answer 1

20.解：（1）∵ 双曲线的渐近线方程为，∴ ，

得 a² = b²，于是 c² = a² + b² = 2a² = 4，因此 a² = 2，b² = 2．所以双曲线的方程为．  4分

（2）① 当直线l₁、l₂其中一条与x轴垂直，不妨设l₁⊥x轴时，

则，，，．

∴ ，，

∴ ．      … 5分

② 当直线l₁、l₂都不与x轴垂直时，

设l₁：y = k（x－2），k≠0，则 l₂：．

由  消去y，整理得（k²－1）x²－4k²x + 4k² + 2 = 0．

∵ l₁与双曲线有两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∴ ，，且 得 k≠±1．

又 y₁y₂ = k (x₁－2) k (x₂－2)，，，

∴ (1 + k² )(x₁－2) (x₂－2)

         = (1 + k²) [ x₁x₂－2(x₁ + x₂) + 4 ] =．         ………… 8分

以代k得 ， ∴ ．

综合①②，得．                                   …………… 12分