Question

下列命题中真命题为

 

．（只填正确命题的序号）
①函数f（x）=

3x-5

2x+1

的图象关于点（-

1

2

，

3

2

）对称；
②命题“任意x∈R，均有x²+2x-3≥0”的否定是：“存在x∈R，使得x²+2x-3＜0
③函数f（x）=（x-1）²在点（0，1）处的切线与坐标轴围成图形的面积是1；
④将函数f（x）=sin（x-

π

4

）（x∈R）的图象向右平移

π

4

个单位得到的图象关于y轴对称．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,三角函数的图像与性质

分析：①将反比例函数图象平移即可得到f（x）的图象，由反比例函数图象关于原点对称，即可判断；
②由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断；
③求出导数，和切线的斜率，写出切线方程，求出两坐标轴的交点，即可求出面积；
④由三角函数的图象平移规律，和诱导公式，以及三角函数的性质，即可判断．

解答： 解：①f（x）=

3x-5

2x+1

即f（x）=

3

2

-

13 4

x+ 1 2

，f（x）的图象可由y=

- 13 4

x

的图象向左平移

1

2

个单位，
再向上平移

3

2

个单位得到，而y=

- 13 4

x

的图象关于原点对称，故f（x）的图象关于点（-

1

2

，

3

2

）对称．
故①对；
②命题“任意x∈R，均有x²+2x-3≥0”的否定是：“存在x∈R，使得x²+2x-3＜0”，故②对；
③由于f′（x）=2（x-1），在（0，1）处的切线斜率为-2，则切线方程为y=1-2x，与坐标轴围成的面积为

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，故③错；
④将函数f（x）=sin（x-

π

4

）（x∈R）的图象向右平移

π

4

个单位得到y=sin（x-

π

2

）
即y=-cosx，其图象关于y轴对称，故④对．
故答案为：①②④．

点评：本题考查函数图象平移的规律，函数的对称性，考查运用导数求切线方程，以及命题的否定，属于基础题．