Question

学习合情推理后，甲、乙两位同学各举一个例子．
甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r=

2S

l

”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r=

3V

S

”；
乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a，b，则其外接圆半径r=

a2+b2

2

”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，则其外接球半径r=

a2+b2+c2

3

”．
这两位同学类比得出的结论判断正确的是

 

．（请将序号填写在横线上）
①甲对，②乙对，③甲错，④乙错．

Answer 1

考点：类比推理

专题：计算题,推理和证明

分析：本题考查的知识点是类比推理，但归纳推理和类比推理的结论不一定正确，我们还要继续进一步证明结论，由此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r=

a2+b2+c2

2

，因此，乙同学类比的结论是错误的．

解答： 解：甲的结论：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r=

3V

S

”证明如下：
设三棱锥的四个面积分别为：S₁，S₂，S₃，S₄，
由于内切球到各面的距离等于内切球的半径
∴V=

1

3

S₁×r+

1

3

S₂×r+

1

3

S₃×r+

1

3

S₄×=

1

3

S×r
∴内切球半径r=

3V

S

甲同学的类比结论是正确的
而若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c
其外接球直径等于棱长为a、b、c的长方体的对角线长
∴2r=

a2+b2+c2

∴r=

a2+b2+c2

2

≠

a2+b2+c2

3

故乙同学的类比结论是不正确的
故答案为：①④．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．