Question

已知命题P：函数f(x)=log

1

2

 (x2-2ax+3)在（-∞，1]内为单调递增函数，命题Q：函数f（x）=x|x-a|+2x在R上单调递增；
（1）若命题Q为真，求实数a的范围；
（2）若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对a分类讨论：f（x）=x|x-a|+2x=

x2+(2-a)x，当x≥a时 -x2+(2+a)x，当x＜a时

，由命题Q：函数f（x）在R上是增函数，则

a≥- 2-a 2 a≤ 2+a 2

解出即可．
（2）先化简命题P，由命题p∨q为真，p∧q为假，等价于

p真 ￢q真

或

￢p真 q真

．解出即可．

解答：解：（1）f（x）=x|x-a|+2x=

x2+(2-a)x，当x≥a时 -x2+(2+a)x，当x＜a时

，
由命题Q：函数f（x）在R上是增函数，则

a≥- 2-a 2 a≤ 2+a 2

解得-2≤a≤2，
∴a的取值范围是-2≤a≤2．
（2）由已知命题P：函数f(x)=log

1

2

 (x2-2ax+3)在（-∞，1]内为单调递增函数，
∴函数g（x）=x²-2ax+3在（-∞，1]内大于零且单调递减，
∴

g(1)＞0 1≤- -2a 2

，解得1≤a＜2．
∵命题p∨q为真，p∧q为假，∴等价于

p真 ￢q真

或

￢p真 q真

．
由

p真 ￢q真

解得-2≤a＜1或a=2；
或

￢p真 q真

．解得a∈Φ．
综上可知实数a的取值范围是[-2，1）∪{2}．

点评：本题综合考查了函数的性质和复合命题的真假，掌握以上知识及分类讨论的思想方法是解决问题的关键．