Question

14．求f（x）=x²+2ax+1在区间[-1，2]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 由于二次函数的对称轴为x=-a，分①当-a＜-1、②当-1≤-a＜$\frac{1}{2}$、③当$\frac{1}{2}$≤-a≤2、④当-a＞2四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最值

解答 解：∵函数f（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a² 的对称轴为x=-a，
①当-a＜-1，即a＞1时，函数y在[-1，2]上是增函数，
故当x=-1时，函数y取得最小值为2-2a；当x=2时，函数y取得最大值为5+4a．
②当-1≤-a＜$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$＜a≤1时，x=-a时，函数y取得最小值为1-a²；
当x=2时，函数y取得最大值为5+4a．
③当$\frac{1}{2}$≤-a≤2，即-2≤a≤-$\frac{1}{2}$时，x=-a时，函数y取得最小值为1-a²；
当x=-1时，函数y取得最大值为2-2a．
④当-a＞2，即a＜-2时，函数y在[-1，2]上是减函数，
故当x=-1时，函数y取得最大值为2-2a；
当x=2时，函数y取得最小值为5+4a

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，关键是根据对称轴与区间的关系判断得出分类的标准，属于中档题