Question

2．已知直线l：x=-2，l与x轴交于点A，动点M（x，y）到直线l的距离比到点N（1，0）的距离大1．
（1）求点M的轨迹W的方程；
（2）过点A作斜率为k的直线交曲线W于B，C两点，设$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，若$\frac{1}{7}$≤λ≤1，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线定义“到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹”求动点P的轨迹；
（2）直线l方程为y=kx+2，代入曲线方程，利用韦达定理及向量知识，可求直线斜率k的取值范围．

解答 解：（1）因为动点M到直线x=-2的距离比它到点N（1，0）的距离大1，
所以动点M到直线x=-1的距离与它到点F（1，0）的距离相等，
故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线y²=4x．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则y${\;}_{1}^{2}$=4x₁，${y}_{2}^{2}$=4x₂，
∴$\overrightarrow{AB}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{BC}$=（x₂-x₁，y₂-y₁），
由$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}$可得：y₁=2（y₂-y₁），即$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{9}{4}$…①
设直线AB的方程为y=k（x+2），（k≠0），可得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去y，得：k²x²+4（k²-1）x+4k²=0，
由根与系数的关系可得：x₁+x₂=$\frac{4-4{k}^{2}}{{k}^{2}}$…②
x₁x₂=4…③
由①③，得x₁=$\frac{4}{3}$，x₂=3，代入②，得k²=$\frac{12}{25}$，
所以k=±$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基本知识的考查．