Question

已知函数f（x）=xlnx，是否存在最小正常数m，使得a＞m时，对任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）•e^x恒成立？请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：将不等式转化为

f(a+x)

ea+x

＜

f(a)

ea

，构造函数g（x），利用导数研究函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：存在，
不等式f（a+x）＜f（a）e^x可转化为f（a+x）＜f（a）e^（a+x-a），
即

f(a+x)

ea+x

＜

f(a)

ea

，当x＞0时恒成立，
设g（x）=

f(x)

ex

，
则g′（x）=

lnx+1-xlnx

ex

，
令h（x）=lnx+1-xlnx，h′（x）=

1

x

-lnx-1，h″（x）=-

1

x2

-

1

x

＜0，（x＞0）
故h'（x）在（0，+∞）上单减，又h'（1）=0，
∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
又h（1）=1，h（2）=1-ln2＞0，h（3）=1-ln3＜0，
故x＞3时，g'（x）＜0，即g（x）在（3，+∞）上单减，
故存在m满足条件，m应为方程lnx+1=xlnx的解，数值在（2，3）中．

点评：本题主要考查不等式恒成立的判断，利用条件将不等式进行转换，构造函数是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．