Question

已知a、b、x为正数，且lg（bx）•lg（ax）+1=0，求

a

b

的取值范围．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件推导出方程（lgx）²+（lga+lgb）lgx+1+lgalgb=0 有解，所以△=（lga+lgb）²-4lgalgb-4≥0，由此能求出

a

b

的取值范围．

解答： 解：∵a、b、x为正数，且lg（bx）•lg（ax）+1=0，
∴（lga+lgx）（lgb+lgx）+1=0
整理得（lgx）²+（lga+lgb）lgx+1+lgalgb=0，
∵这个方程有解，
∴△=（lga+lgb）²-4lgalgb-4≥0
（lga）²+2lgalgb+（lgb）²-4lgalgb-4≥0
（lga-lgb）²≥4
lga-lgb≥2或 lga-lgb≤-2
lg（a-b）≥2或 lga/b≤-2
∴

a

b

≥100 或0＜

a

b

≤

1

100

．
∴

a

b

的取值范围是（0，

1

100

）∪[100，+∞）．

点评：本题考查两个实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数的运算性质的合理运用．