Question

（本小题满分12分）

四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知

∠ABC = 45°AB=2，BC=，SA=SB =

   （Ⅰ）证明SA⊥BC；

   （Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）SA⊥BC

（Ⅱ）直线SD与平面SAB所成的角为

【解析】解法一：

    （I）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.

    因为SA=SB，所以AO=BO.

    又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，

    由三垂线定理，得SA⊥BC.

（II）由（I）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，

故SA⊥AD，由AD=BC=2，SA=，AO=，得

SO=1，.

△SAB的面积.

连结AB，得△DAB的面积=2.

设D到平面SAB的距离为h，由，得

，

解得.

设SD与平面SAB所成角为α，则sinα=.

所以，直线SD与平面SAB所成的角为

解法二：

（I）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD.

因为SA=SB，所以AO=BO.

又∠ABC=，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB.

如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz，

A（，0，0），B（0，，0），C（0，－，0），S（0，0，1），

=（，0，－1），=（0，2，0），·=0，

所以SA⊥BC.

（Ⅱ）取AB中点E，E

连结SE，取SE中点G，连结OG，G，

，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直，

所以OG⊥平面SAB. 与的夹角记为α,SD与平面SAB所成的角记为β，则α与β互余.

所以，直线SD与平面SAB所成的角为