Question

已知点M在椭圆(a＞b＞0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．

(1)若圆M与y轴相交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程；

(2)若点F(1，0)，设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时恒有|OC|²＋|OD|²＜|CD|²，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵△ABM是边长为2的正三角形，∴圆M的半径r＝2，　　1分 　　∴M到y轴的距离d＝　　2分 　　又圆M与x轴相切，∴当x＝c时，得y＝，r＝　　3分 　　∴＝2，c＝　　4分 　　∵解得a＝3或a＝－1(舍去)， 　　则b2＝2a＝6．　　5分 　　故所求的椭圆方程为．　　6分 　　(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)． 　　①当直线CD与x轴重合时，有 　　∵c＝1，∴a2＝b2＋c2＞1， 　　恒有　　7分 　　②当直线CD不与x轴重合时， 　　设直线CD的方程为x＝my＋1，代入 　　整理得　　8分 　　∴ 　　∵恒有，∴恒为钝角， 　　则＝x1x2＋y1y2＜0恒成立　　9分 　　∴x1x2＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝ 　　＋1 　　　　10分 　　又＞0 　　∴＜0对mR恒成立， 　　即对mR恒成立． 　　当mR时，的最小值为0，∴＜0．　　11分 　　∴，即 　　∴a＞0，b＞0，∴a＜b2，即a＜a2－1，∴a2－a－1＞0． 　　解得或，即． 　　由①②可知，a的取值范围是(，＋∞)　　12分