Question

已知函数f（x）=3cos²x+2sinxcosx+sin²x．
（1）求f（x）的最大值，并求出此时x的值；
（2）写出f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+2，可得f（x）的最大值和此时x的值；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

和2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

分别可解得函数的单调递增和单调递减区间．

解答： 解：（1）化简可得f(x)=

3(1+cos2x)

2

+sin2x+

1-cos2x

2

=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2
∴f（x）的最大值为2+

2

，此时2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，
解得x=kπ+

π

8

，k∈Z；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

可解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

；
∴f（x）单调增区间为：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

可解得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

∴f（x）单调减区间为：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值和单调性，属基础题．