已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出m,n的值;如果不存在,说明理由.
分析:(1)由方程ax
2+bx-2x=0有等根,则△=0,得b,又由f(x-1)=f(3-x)知此函数图象的对称轴方程为x=-
=1,得a,从而求得f(x).
(2)由f(x)=-(x-1)
2+1≤1,知4n≤1,即n≤
.由对称轴为x=1,知当n≤
时,f(x)在[m,n]上为增函数.所以有
,最后看是否满足m<n≤
即可.
解答:解:(1)∵方程ax
2+bx-2x=0有等根,∴△=(b-2)
2=0,得b=2.
由f(x-1)=f(3-x)知此函数图象的对称轴方程为x=-
=1,得a=-1,故f(x)=-x
2+2x.
(2)∵f(x)=-(x-1)
2+1≤1,∴4n≤1,即n≤
.
而抛物线y=-x
2+2x的对称轴为x=1,∴当n≤
时,f(x)在[m,n]上为增函数.
若满足题设条件的m,n存在,则
即
?
又m<n≤
.
∴m=-2,n=0,这时,定义域为[-2,0],值域为[-8,0].
由以上知满足条件的m,n存在,m=-2,n=0.
点评:本题主要考查函数与方程的综合运用,还考查了二次函数解析式的常用解法及分类讨论,转化思想.