Question

（2013•惠州模拟）已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足：S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}的通项c_n=b_n•(

1

3

)n，求数列{c_n}的前n项和R_n；
（3）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，问T_n＞

1000

2009

的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析：（1）由点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，求出函数解析式，根据等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，依次求出a₁，a₂，a₃，然后由a22=a1a3求出c，则首项和公比可求，所以通项公式可求，再由数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足：S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．展开等式左边约分后可得数列{

Sn

}为首项为1公差为1的等差数列，求出S_n后，由b_n=S_n-S_n-1（n≥2）求数列{b_n}的通项公式；
（2）把数列{b_n}的通项公式代入数列{c_n}的通项c_n=b_n•(

1

3

)n，然后运用错位相减法求数列{c_n}的前n项和；
（3）运用裂项相消法求出数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，代入T_n＞

1000

2009

进行求解．

解答：解：（1）因为点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，
所以f(1)=a=

1

3

，所以，f(x)=(

1

3

)x．
因为等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，
所以a1=f(1)-c=

1

3

-c，
a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=(

1

3

)2-c-

1

3

+c=-

2

9

，
a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=(

1

3

)3-c-(

1

3

)2+c=-

2

27

．
又数列{a_n}成等比数列，所以，a1=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，所以c=1．
所以

1

3

-1=-

2

3

．
又公比q=

a3

a2

=

- 2 27

- 2 9

=

1

3

所以an=-

2

3

(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n．
由数列{b_n}的前n项和满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
则(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

  （n≥2），
又b_n＞0，

Sn

＞0，所以

Sn

-

Sn-1

=1．
所以，数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
则

Sn

=1+(n-1)×1=n，所以Sn=n2．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
满足b₁=c=1．
所以，bn=2n-1(n∈N*)；
（2）由cn=bn(

1

3

)n=(2n-1)(

1

3

)n，
所以R_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1×(

1

3

)1+3×(

1

3

)2+5×(

1

3

)3+…+(2n-1)×(

1

3

)n①
两边同时乘以

1

3

得：

1

3

Rn=1×(

1

3

)2+3×(

1

3

)3+5×(

1

3

)4+…+(2n-3)×(

1

3

)n+(2n-1)×(

1

3

)n+1②
①式减②式得：

2

3

Rn=

1

3

+2[(

1

3

)2+(

1

3

)3+(

1

3

)4+…+(

1

3

)n]-(2n-1)×(

1

3

)n+1

化简得：

2

3

Rn=

1

3

+2×

( 1 3 )2[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(2n-1)×(

1

3

)n+1=

2

3

-

2(n+1)

3

×(

1

3

)n

所以Rn=1-

n+1

3n

．
（3）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；
由Tn=

n

2n+1

＞

1000

2009

，得n＞

1000

9

，所以，满足Tn＞

1000

2009

的最小正整数为112．

点评：本题考查了等差和等比数列的通项公式，考查了错位相减法和裂项相消法求数列的前n项的和，比较综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生的计算能力，特别是（1）中求解两个数列的通项公式，需要有一定的灵活变化技巧，此题属于难题．