精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设函数f（x）对其定义域内的任意实数 $数学公式$ ，则称函数f（x）为上凸函数．若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x₁、x₂、x₃，…，x_n都有 $数学公式$ （当x₁=x₂=x₃=…=x_n时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且 $数学公式$ ；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是 $数学公式$ ．
其中，正确命题的序号是________（写出所有你认为正确命题的序号）．

①③④
分析：作图可知①正确，②不正确．对于③，如图，因为f（x）上凸函数，则点C在点D的下方，点C的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，点D的坐标为 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ．对于④，因为f（x）=sinx在 $\text{[math]}$ 上是凸函数，由琴生不等式知 $\text{[math]}$ ．
解答：

解：作图可知①正确，②不正确．
对于③，如图，因为f（x）上凸函数，则点C在点D的下方，点C的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，
点D的坐标为 $\text{[math]}$ ，
于是得 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，即③正确．
对于④，因为f（x）=sinx在 $\text{[math]}$ 上是凸函数，
由琴生不等式知 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
当A=B=C时，取④正确．
综上所述，正确命题是①③④．
点评：本题考查命题真假的判断与应用，解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用，挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

练习册系列答案

德华书业暑假训练营学年总复习安徽文艺出版社系列答案

金牌作业本南方教与学系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

（2012•眉山一模）设函数f（x）对其定义域内的任意实数x1与x2都有f(

x1+x2

)≥

f(x1)+f(x2)

，则称函数f（x）为上凸函数．若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x₁、x₂、x₃，…，x_n都有f(

x1+x2+…+xn

)≥

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

（当x₁=x₂=x₃=…=x_n时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且

=λ

，则f(

x1+λx2

1+λ

)≥

f(x1)+λf(x2)

1+λ

；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是

．
其中，正确命题的序号是

①③④

（写出所有你认为正确命题的序号）．

查看答案和解析>>