Question

设｛a_n｝是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对所有自然数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.

（Ⅰ）写出数列｛a_n｝的前三项；

（Ⅱ）求数列｛a_n｝的通项公式（写出推证过程）；

（Ⅲ）令b_n=（n∈N^*），求（b₁+b₂+…+b_n－n）

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由题意，an＞0 令n=1时，      S1=a1 解得a1=2，令n=2时有 S2=a1+a2 解得a2=6，令n=3时有 S3=a1+a2+a3  解得a3=10 故该数列的前三项为2、6、10. （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）猜想数列｛an｝有通项公式an=4n－2，下面用数学归纳法证明数列｛an｝的通项公式是an=4n－2 （n∈N*） 1°当n=1时，因为4×1－2＝2，又在（Ⅰ）中已求得a1=2，所以上述结论正确.  2°假设n=k时，结论正确，即有ak=4k－2 由题意有 得ak=4k－2，代入上式得2k=，解得Sk=2k2 由题意有    Sk+1=Sk+ak+1 得Sk=2k2代入得（）2=2（ak+1+2k2） 整理ak+12－4ak+1+4－16k2=0 由于ak+1＞0，解得：ak+1=2+4k 所以ak+1=2+4k=4（k+1）－2  这就是说n=k+1时，上述结论成立. 根据1°，2°上述结论对所有自然数n成立. 解法二：由题意有，（n∈N*） 整理得Sn=（an+2）2 由此得Sn+1=（an+1+2）2 所以an+1=Sn+1－Sn=［（an+1+2）2－（an+2）2］ 整理得（an+1+an）（an+1－an－4）=0 由题意知an+1+an≠0，所以an+1－an=4 即数列｛an｝为等差数列，其中a1=2，公差d=4， 所以an=a1＋（n－1）d=2+4（n－1） 即通项公式an=4n－2. （Ⅲ）令cn=bn－1， 则 b1+b2+…+bn－n=c1+c2+…+cn = 所以=1.