Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，且对于所有的正整数n，有2

Sn

=an+1．
（I）求a₁，a₂的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）令b₁=1，b_2k=a_2k-1+（-1）^k，b_2k+1=a_2k+3^k（k=1，2，3，…），求数列{b_n}的前2n+1项和T_2n+1．

Answer 1

分析：（I）由题设条件知当n=1时，(

a1

-1)2=0，a₁=1．当n=2时，

a2+1

=2，a₂=3．
（II）由2

Sn

=an+1，知4S_n=（a_n+1）²4S_n-1=（a_n-1+1）²，相减得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．由此可知a_n=2n-1．
（Ⅲ）T_2n+1=b₁+[a₁+（-1）¹]+（a₂+3¹）+[a₃+（-1）²]+（a₄+3²）++（a_2n+3ⁿ）=1+S_2n+（3+3²++3ⁿ）+[（-1）¹+（-1）²++（-1）ⁿ]，由此能够求出其结果．

解答：解：（I）当n=1时，2

a1

=a1+1，
∴(

a1

-1)2=0，a₁=1
当n=2时，2

1+a2

=a2+1，
∴

a2+1

=2，a₂=3．
（II）∵2

Sn

=an+1，
∴4S_n=（a_n+1）²4S_n-1=（a_n-1+1）²，相减得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵{a_n}是正数组成的数列，
∴a_n-a_n-1=2，∴a_n=2n-1．
（Ⅲ）T_2n+1=b₁+[a₁+（-1）¹]+（a₂+3¹）+[a₃+（-1）²]+（a₄+3²）++（a_2n+3ⁿ）
=1+S_2n+（3+3²++3ⁿ）+[（-1）¹+（-1）²++（-1）ⁿ]
=1+(2n)2+

3(1-3n)

1-3

+

(-1)(1-(-1)n)

1-(-1)

=

3n+1-2+8n2+(-1)n

2

．

点评：本题考查数列的综合运算，解题时要注意计算能力的培养．