Question

设{a_n } 是正数组成的数列，其前n项和为S_n，，所有的正整数n，满足

an+2

2

=

2S n

（1）求a₁、a₂、a₃；    
（2）猜想数列{a_n }的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）直接利用已知的关系式，通过n=1，2，3，分别求a₁、a₂、a₃；    
（2）通过（1）猜想数列{a_n }的通项公式，然后用数学归纳法证明．

解答：解：（1）由

a1+2

2

=

2S1

，S1=a1，解得a1=2
再由

a2+2

2

=

2S2

，a2＞0，即(

a2+2

2

)2=2(2+a2)，解得a₂=6；
同样由

a3+2

2

=

2S3

，a3＞0，即(

a3+2

2

)2=2S3，(

a3+2

2

)2=2(2+6+a3)，
可得a₃=10．
（2）猜想a_n=4n-2下面用数学归纳法证明．
1° 当n=1时，结论成立；
2°假设n=k时，结论成立，即a_k=4k-2.由

ak+2

2

=

2Sk

，解得Sk=2k2，

又由 ak+1+2 2 = 2Sk+1 ，得 ak+1+2 2 = 2(Sk+ak+1) ，从而 ak+1+2 2 = 2(2k2+ak+1) ，ak+1＞0，解得ak+1=4k+2=4(k+1)-2，

即当n=k+1时，结论也成立，-根据1°、2°对于一切正整数n都有a_n=4n-2成立．

点评：本题考查数学归纳法的证明猜想证明方法，数列递推关系式的应用，证明中用上假设是证明的关键．