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    设各项都是正数的数列{an}满足：对于任意的自然数n，都有log0.5a1+
    log0.5a2
    2
    +
    log0.5a3
    3
    +…+
    log0.5an
    n
    =n(n∈N*)    ．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）数列{bn}满足bn=(n+2)(
    9
    5
    )n•an    ，试求数列{bn}的最大项；
    （Ⅲ）令c1=3，cn=3an-1（n≥2），Sn=
    n
    i=1
    ci    ，是否存在自然数c，k，使得
    Sk+1-c
    Sk-c
    ＞3    成立？证明你的论断．
    分析：（Ⅰ） 类比于已知Sn求an，写出n+1时表达式，再两式相减，易得．
    （Ⅱ）可求得bn=(n+2)(
    9
    10
    )    n    ，利用作差法判定单调性，求最大项
    （Ⅲ） cn=
    3
    2n-1
    ，再求出Sn代入表达式，解关于c，k的不定方程，探讨解的情况．
    解答：解：（1）由题意，知：log0.5a1+
    log0.5a2
    2
    +
    log0.5a3
    3
    +…+
    log0.5an
    n
    =n    ．           ①
    当n≥2时，log0.5a1+
    log0.5a2
    2
    +
    log0.5a3
    3
    +…+
    log0.5an-1
    n-1
    =n-1    ．        ②
    由①-②，知：当n≥2时，
    log0.5an
    n
    =1    ，即an=(
    1
    2
    )n    ．    
    当n=1时，log0.5a1=1，a1=
    1
    2
    适合上式．
    所以，数列{an}的通项公式是an=(
    1
    2
    )n(n∈N*)    ．         
    （2）由（1）知：bn=(n+2)(
    9
    10
    )n    ．
    由
    bn≥bn+1
    bn≥bn-1
    ，即
    (n+2)(
    9
    10
    )n≥(n+3)(
    9
    10
    )n+1
    (n+2)(
    9
    10
    )n≥(n+1)(
    9
    10
    )n-1
    ．        
    解得：7≤n≤8
    因为n∈N*，所以，n=7或8
    （3）由题意，知：当n≥2时，cn=3an-1=
    3
    2n-1
    ．
    又c1=3适合上式，故数列{cn}的通项公式为cn=
    3
    2n-1
    ．     
    所以，Sn=
    3[1-(
    1
    2
    )    n    ]
    1-
    1
    2
    =6[1-(
    1
    2
    )    n    ]    ．                     
    假设存在自然数c，k，使得
    Sk+1-c
    Sk-c
    ＞3    成立．即
    6[1-(
    1
    2
    )    k+1    ]-c
    6[1-(
    1
    2
    )    k    ]-c
    ＞3    ．
    所以，
    (6-c)•2k-3
    (6-c)•2k-6
    ＞3
    所以，
    (6-c)•2k-3
    (6-c)•2k-6
    -3=
    -2(6-c)•2k+15
    (6-c)•2k-6
    ＞0
    即
    (6-c)•2k-
    15
    2
    (6-c)•2k-6
    ＞0
    所以，6＜(6-c)•2k＜
    15
    2

    因为c，k为自然数，所以，（6-c）•2k比为整数，
    所以，（6-c）•2k=7，所以，
    2k=1
    6-c=7
    ，即k=0，c=-1，不合题意
    所以，不存在自然数c，k，使得
    Sk+1-c
    Sk-c
    ＞3    成立．
    点评：本题考查等比数列定义、通项公式、求和，数列的单调性、不定方程的解．考查分析解决问题、计算、逻辑思维，分类讨论的思想方法和能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{
    		Sn
    }    是公差为d的等差数列．
    （1）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；
    （2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求证：c的最大值为
    9
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{
    		Sn
    }    是公差为d的等差数列．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；
    （Ⅱ）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求c的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•广州一模）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{
    		Sn
    }    是首项为1，公差为1的等差数列．
    （1） 求数列{an}的通项公式；
    （2）令bn=
    1
    		anS2n+1
    +
    		an+1S2n-1
    ，若不等式
    n
    i=1
    bi    ≥
    L
    		2n+1
    +1
    对任意n∈N*都成立，求实数L的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    设各项都是正数的数列{an}满足：对于任意的自然数n，都有．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）数列{bn}满足，试求数列{bn}的最大项；
    （Ⅲ）令c1=3，cn=3an-1（n≥2），，是否存在自然数c，k，使得成立？证明你的论断．

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