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设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{
Sn
}
是公差为d的等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式(用n,d表示);
(Ⅱ)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立.求c的最大值.
分析:(I)根据等差数列的通项公式,结合已知,列出关于a1、d的方程,求出a1,进而推出sn,再利用an与sn的关系求出an
(II)利用(I)的结论,对Sm+Sn>cSk进行化简,转化为基本不等式问题求解;或求出c的最大值的范围,利用夹逼法求出a的值.
解答:解:(Ⅰ)由题意知:d>0,2a2=a1+a3?3a2=S3?3(S2-S1)=S32a2=a1+a3?3a2=S3?3(S2-S1)=S33[(
a1
+d)
2
-a1]
 
=(
a1
+2d)
2

化简,得:a1-2
a1
•d+d2=0,
a1
=d,a1=d2
Sn
=d+(n-1)d=nd,Sn=n2d2

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2,适合n=1情形.
故所求an=(2n-1)d2
(Ⅱ)(方法一)Sm+Sn>cSk?m2d2+n2d2>c•k2d2?m2+n2>c•k2c<
m2+n2
k2
恒成立.
又m+n=3k且m≠n,2(m2+n2)>(m+n)2=9k2?
m2+n2
k2
9
2

c≤
9
2
,即c的最大值为
9
2

(方法二)由
a1
=d
Sn
=
a1
+(n-1)d
,得d>0,Sn=n2d2
于是,对满足题设的m,n,k,m≠n,有Sm+Sn=(m2+n2)d2
(m+n)2
2
d2=
9
2
d2k2=
9
2
Sk

所以c的最大值cmax
9
2

另一方面,任取实数a>
9
2
.设k为偶数,令m=
3
2
k+1,n=
3
2
k-1
,则m,n,k符合条件,且Sm+Sn=(m2+n2)d2=d2[(
3
2
k+1)2+(
3
2
k-1)2]=
1
2
d2(9k2+4)

于是,只要9k2+4<2ak2,即当k>
2
2a-9
时,Sm+Sn
1
2
d2•2ak2=aSk

所以满足条件的c≤
9
2
,从而cmax
9
2
.因此c的最大值为
9
2
点评:本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析及论证的能力.
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设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5an5bn5an+1成等比数列,lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差数列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通项an、bn

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(2)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立.求证:c的最大值为
9
2

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(2013•广东)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=
a
2
n+1
-4n-1,n∈N*
,且a2,a5,a14构成等比数列.
(1)证明:a2=
4a1+5

(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
1
2

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设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的正整数n都有等式Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an
(n∈N*)成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令数列bn=|c|
an
2n
Tn
为数列{bn}的前n项和,若Tn>8对n∈N*恒成立,求c的取值范围.

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