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设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5an5bn5an+1成等比数列,lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差数列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通项an、bn
分析:由等比中项、等差中项的性质得an+1=
bnbn+1
递推出an=
bn-1bn
(n≥2).
解答:解:∵5an,5bn,5an+1成等比数列,
∴(5an2=5bn•5an+1,即2bn=an+an+1.①
又∵lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差数列,
∴2lgan+1=lgbn+lgbn+1,即an+12=bn•bn+1.②
由②及ai>0,bj>0(i、j∈N*)可得
an+1=
bnbn+1
.③
∴an=
bn-1bn
(n≥2).④
将③④代入①可得2bn=
bn-1bn
+
bnbn+1
(n≥2),
∴2
bn
=
bn-1
+
bn+1
(n≥2).
∴数列{
bn
}为等差数列.
∵b1=2,a2=3,a22=b1•b2,∴b2=
9
2

bn
=
2
+(n-1)(
9
2
-
2

=
1
2
(n+1)(n=1也成立).
∴bn=
(n+1)2
2

∴an=
bn-1bn
=
n2
2
(n+1)2
2

=
n(n+1)
2
(n≥2).
又当n=1时,a1=1也成立.
∴an=
n(n+1)
2
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题呢.解题过程中注意由Sn求an时要注意验证a1与S1是否一致.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{
Sn
}
是公差为d的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式(用n,d表示);
(2)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立.求证:c的最大值为
9
2

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Sn
}
是公差为d的等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式(用n,d表示);
(Ⅱ)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立.求c的最大值.

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(2013•广东)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=
a
2
n+1
-4n-1,n∈N*
,且a2,a5,a14构成等比数列.
(1)证明:a2=
4a1+5

(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
1
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的正整数n都有等式Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an
(n∈N*)成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令数列bn=|c|
an
2n
Tn
为数列{bn}的前n项和,若Tn>8对n∈N*恒成立,求c的取值范围.

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