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设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的正整数n都有等式Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an
(n∈N*)成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令数列bn=|c|
an
2n
Tn
为数列{bn}的前n项和,若Tn>8对n∈N*恒成立,求c的取值范围.
分析:(1)由已知可得Sn-1=
1
4
a
n-1
2
+
1
2
an-1(n≥2)
从而导出an-an-1=2(n≥2),由此推出an=2n.
(2)由题设条件易得Tn=b1+b2+…+bn=2|c|(
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
)
,令Mn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
,利用错位相消法能够求出Mn,由题意4|c|[1-
n+2
2n+1
]>8
|c|>
2
1-
n+2
2n+1
对n∈N*恒成立,利用1-
n+2
2n+1
单调性得即可求出c的取值范围.
解答:解:(1)∵Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an

Sn-1=
1
4
a
2
n-1
+
1
2
an-1(n≥2)
…(2分)
an=Sn-Sn-1=
1
4
a
2
n
+
1
2
an-(
1
4
a
2
n-1
+
1
2
an-1)

∴an-an-1=2…(4分)
又a1=2,∴an=2n…(6分)
(2)bn=|c|
an
2n
=2|c|
n
2n

Tn=b1+b2+…+bn=2|c|(
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
)
…(7分)
Mn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n

1
2
Mn=
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n
2n+1

1
2
Mn=
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+…
1
2n
-
n
2n+1

Mn=2[1-
n+2
2n+1
]
…(10分)
Tn=4|c|[1-
n+2
2n+1
]
…(11分)
由题意4|c|[1-
n+2
2n+1
]>8

|c|>
2
1-
n+2
2n+1
对n∈N*恒成立             …(13分)
1-
n+2
2n+1
单调性得
1
4
≤1-
n+2
2n+1
<1

1<
2
1-
n+2
2n+1
≤4

要使Tn>8对n∈N*恒成立,故|c|>8…(15分)
∴c的取值范围是(-∞,8)∪(8,+∞)…(16分)
点评:本题考查数列的性质和应用,等差关系的确定,等比数列的前n项和等.解题时要认真审题,注意计算能力的培养.
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设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{
Sn
}
是公差为d的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式(用n,d表示);
(2)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立.求证:c的最大值为
9
2

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Sn
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(Ⅱ)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立.求c的最大值.

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a
2
n+1
-4n-1,n∈N*
,且a2,a5,a14构成等比数列.
(1)证明:a2=
4a1+5

(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
1
2

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