Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2a₂=a₁+a₃，数列{

Sn

}是公差为d的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式（用n，d表示）；
（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S_m+S_n＞cS_k都成立．求证：c的最大值为

9

2

．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a₁、d的方程，求出a₁，进而推出s_n，再利用a_n与s_n的关系求出a_n．
（2）利用（1）的结论，对S_m+S_n＞cS_k进行化简，转化为基本不等式问题求解；或求出c的最大值的范围，利用夹逼法求出a的值．

解答：解：（1）由题意知：d＞0，

sn

=

s1

+（n-1）d=

a1

+（n-1）d，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴3a₂=S₃，即3（S₂-S₁）=S₃，
∴3[(

a1

+d)2-a1] =(

a1

+2d)2，
化简，得：a1-2

a1

•d+d2=0，

a1

=d，a1=d2

Sn

=d+(n-1)d=nd，Sn=n2d2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²d²-（n-1）²d²=（2n-1）d²，适合n=1情形．
故所求a_n=（2n-1）d²
（2）（方法一）S_m+S_n＞cS_k?m²d²+n²d²＞c•k²d²?m²+n²＞c•k²，c＜

m2+n2

k2

恒成立．
又m+n=3k且m≠n，2(m2+n2)＞(m+n)2=9k2?

m2+n2

k2

＞

9

2

，
故c≤

9

2

，即c的最大值为

9

2

．
（方法二）由

a1

=d及

Sn

=

a1

+(n-1)d，得d＞0，S_n=n²d²．
于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，有Sm+Sn=(m2+n2)d2＞

(m+n)2

2

d2=

9

2

d2k2=

9

2

Sk．
所以c的最大值cmax≥

9

2

．
另一方面，任取实数a＞

9

2

．设k为偶数，令m=

3

2

k+1，n=

3

2

k-1，则m，n，k符合条件，且Sm+Sn=(m2+n2)d2=d2[(

3

2

k+1)2+(

3

2

k-1)2]=

1

2

d2(9k2+4)．
于是，只要9k²+4＜2ak²，即当k＞

2

2a-9

时，Sm+Sn＜

1

2

d2•2ak2=aSk．
所以满足条件的c≤

9

2

，从而cmax≤

9

2

．
因此c的最大值为

9

2

．

点评：本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．