Question

（本题满分14分）已知函数，函数是函数的反函数．

（1）求函数的解析式，并写出定义域；

（2）设，若函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数在区间内必有唯一的零点（假设为），且．

Answer 1

（1）； （2）证明祥见解析．

【解析】

试题分析：（1）先且部分分式法结合指数函数的值域求函数的值域，即为其反函数的定义域D；再令解出x然后交换x,y的位置即得函数的解析式；

（2）先由（1）的结论可求得的解析式和定义域，从而可判断函数为奇函数，那么要证函数在区间内必有唯一的零点（假设为），且；就只需证明函数在上是单调函数，且即可．

试题解析： （1） ，

.又，.

.

由，可解得.

，.

证明 （2）由（1）可知，.

可求得函数的定义域为.

对任意，有，

所以，函数是奇函数.

当时，在上单调递减，在上单调递减，

于是，在上单调递减.

因此，函数在上单调递减.

依据奇函数的性质，可知，

函数在上单调递减，且在上的图像也是不间断的光滑曲线.

又,

所以，函数在区间上有且仅有唯一零点，且.

考点：1.反函数；2．函数的零点．