Question

（本小题满分14分）已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在[上有零点，求的最大值；（Ⅲ）证明：在其定义域内恒成立，并比较与（且）的大小.

Answer 1

(Ⅰ)单调递增区间为，单调递减区间为  (Ⅱ)  -2（Ⅲ）略

：（Ⅰ）由题知：的定义域为（0,+∞）∵
∴函数的单调递增区间为　的单调递减区间为
(Ⅱ)∵在x∈上的最小值为
且=
∴在x∈上没有零点，∴要想使函数在（n∈Z）上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只须且即可，
易验证
，当n≤-2且n∈Z时均有，即函数在上有零点，∴n的最大值为-2.
(Ⅲ)要证明，即证只须证lnx-x+1上恒成立.令h(x)=lnx-x+1(x>0),由
则在x=1处有极大值（也是最大值）h(1)=0∴lnx-x+1上恒成立.
∴∴

=(n-1)-<(n-1)-[]
=(n-1)-( 
=∴<.