Question

（12分）已知函数f(x)=x|x²-a| （a∈R）,(1)当a≤0时，求证函数f(x)在（-∞，+∞）上是增函数；（2）当a=3时，求函数f(x)在区间［0，b］上的最大值

Answer 1

略

：（1）a≤0 f(x)=x(x²-a)=x³-ax∴f′(x)=3x²-a≥0，f(x)在（-∞，+∞）上为增函数……4分
（2）a=3时f(x)=
①若0<b≤时，f(x)=3x-x³由f′(x)=3-3x²="0" 得x=1
(Ⅰ)若0<b≤1时f′(x) ≥0，f(x)在[0,b]上递增，故f(x)_max=f(b)=3b-b³
(Ⅱ)若1<b≤时，0<x<1,②f′(x)>0; 1<x<b, f′(x)<0故f(x)_max=f(1)=2…8分
②若b>由①知f(x)在[0, ]上最大值为2，下面求f(x)在（,b]上的最大值
∵f′(x)=3x²-3>0  ∴f(x)_max=f(b)=b³-3b又b³-3b-2=(b+1)²(b-2)
∴f(x)_max=…11分综合①已知f(x)_max=…12分