Question

如图，三棱锥中，底面于，，，点是的中点.

（1）求证：侧面平面；

（2）若异面直线与所成的角为，且，

求二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

(1)对于线面垂直的证明，主要是利用判定定理，然后结合这个条件来得到面面垂直的证明。

(2)

【解析】

试题分析：解：（1）∵底面，平面，

∴ 平面平面， 又∵，

平面平面， ∴ 平面   3分

而 平面 ∴侧面平面.   5分

（2）取的中点，则是的中位线

故，所以就是异面直线与所成的角，   7分

设，则在中，，

在中，，∴ ，

而，∴ ,即.   9分

过作于点，连. ∵ ，底面

∴ 底面，从而，又∵，

∴平面，从而，

所以就是二面角的平面角.    11分

由，得 ， 由∽，

可得，即  解得，

在中，，所以，

故二面角的大小为.     14分

解法2：如图，以为原点，以分别为轴建立直角坐标系.

设，则，，，

，从而.

∴，，   7分

∵异面直线与所成的角为，且，

∴，

又，

从而，解得...    9分

∴，，，

设平面的法向量为，则由 

得 ，   令，得.   11分

又平面的法向量为，    12分

∴，∴ ，

所以二面角的大小为.   14分

考点：面面垂直，二面角

点评：主要是考查了空间几何体中垂直的证明以及异面直线的角和二面角的平面角的借助于向量来求解，属于中档题。