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(2013•临沂一模)如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右顶点为A、B,离心率为
3
2
,直线x-y+l=0经过椭圆C的上顶点,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l:x=-
10
3
分别交于M,N两点.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求线段MN长度的最小值;
(Ⅲ)当线段MN长度最小时,在椭圆C上是否存在这样的点P,使得△PAS的面积为l?若存在,确定点P的个数;若不存在,请说明理由.
分析:(I)由题意(0,b)在直线x-y+1=0上,代入解得b.再利用e=
c
a
,b2+c2=a2,解得a,c即可.
(II)设直线AS的斜率为k(k>0),则直线AS:y=k(x+2),与x=-
10
3
联立解得M,把直线y=k(x+2)与椭圆方程联立即可解得S,进而得到直线BS的方程,即可得出点N的坐标即|MN|,利用基本不等式的性质即可得出最小值;
(III)利用(II)可得k及点S的坐标,可得|AS|,可得AS方程为y=x+2,及P在与AS平行的直线y=x+m上.利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式可得m,把直线y=x+m与椭圆的方程联立即可得出交点P的坐标.
解答:解:(I)由题意(0,b)在直线x-y+1=0上,代入解得b=1.
又∵e=
c
a
=
3
2
,b2+c2=a2,解得a=2,c=
3

∴椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1

(II)由(I)A(-2,0),B(2,0).
设直线AS的斜率为k(k>0),则直线AS:y=k(x+2),与x=-
10
3
联立解得M(-
10
3
,-
4k
3
)

y=k(x+2)
x2
4
+y2=1
,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.
xAxS=-2xS=
16k2-4
1+4k2
,∴xS=
2-8k2
1+4k2

把xS代入y=k(x+2)得yS=
4k
1+4k2
,即S(
2-8k2
1+4k2
4k
1+4k2
)

∴kBS=
4k
1+4k2
-0
2-8k2
1+4k2
-2
=-
1
4k

∴直线BS的方程为y=-
1
4k
(x-2)
,∴yN=-
1
4k
(-
10
3
-2)=
4
3k


∴|MN|=|yN-yM|=|
4
3k
-(-
4
3
k)|
=
4
3
|k+
1
k
|=
4
3
(k+
1
k
)
8
3
,当且仅当k=1时取等号.
(III)由(II)可知:k=1时线段MN取得最小值,此时S(-
6
5
4
5
)
|AS|=
(-2+
6
5
)2+(
4
5
)2
=
4
5
2

可得AS方程为y=x+2,P在与AS平行的直线y=x+m上.
∴点P到AS的距离等于两平行线距离
|m-2|
2
,∴△ASP的面积为1.
1
2
×
4
5
2
×
|m-2|
2
=1,
|m-2|=
5
2
,解得m=-
1
2
9
2

又由
y=x+m
x2
4
+y2=1
,得5x2+8mx+4m2-4=0,
△=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2),
验证可知:当m=-
1
2
时,△=16×[5-(-
1
2
)2]=76>0

∴P点存在,有两个.
点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立得到判别式及根与系数的关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式等基础知识与基本技能,考查了推理能力和计算能力.
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x
x-1
+x
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2
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