Question

（2007•青岛一模）已知椭圆9x²+2y²=18上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且

PM

=2

MQ

，点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足

FG

=

1

2

FH

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设点P（x₀，y₀）是椭圆上一点，则Q（x₀，0），M（x，y）．由已知

PM

=2

MQ

得：x₀=x，y₀=3y代入椭圆方程即可得到曲线E的方程．
（II）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），当直线GH斜率存在时，设直线GH的斜率为k．把直线GH的方程y=kx+2与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，再利用

FG

=

1

2

FH

，即可解出k．当直线GH斜率不存在时，不符合题意．

解答：解：（I）设点P（x₀，y₀）是椭圆上一点，则Q（x₀，0），M（x，y）
由已知

PM

=2

MQ

得：x₀=x，y₀=3y代入椭圆方程得9x²+18y²=18，
即x²+2y²=2为曲线E的方程．
（II）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
当直线GH斜率存在时，设直线GH的斜率为k
则直线GH的方程为：y=kx+2，
代入x²+2y²=2，得：（

1

2

+k²）x²+4kx+3=0，
由△＞0，解得：k²＞

3

2

，x1+x2=

-4k

1 2 +k2

，x1x2=

3

1 2 +k2

，
∵

FG

=(x1，y1-2)，

FH

=(x2，y2-2)，又有

FG

=

1

2

FH

．
∴x1=

1

2

x2
．∴

x1+x2= -4k 1 2 +k2 x1x2= 3 1 2 +k2 x1= 1 2 x2

化为(

-8k

3(1+2k2)

)2=

3

1+2k2

，即10k²=27．
解得：k2=

27

10

＞

3

2

，
∴k=±

3 30

10

，
∴直线l的方程为：y=±

3 30

10

x+2，
当直线GH斜率不存在时，直线的l方程为x=0，
此时

FG

=

1

3

FH

与

FG

=

1

2

FH

矛盾不合题意．
∴所求直线l的方程为：y=±

3 30

10

x+2．

点评：熟练掌握直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量相等、分类讨论思想方法等是解题的关键．