Question

已知函数f（x）=lnx+ax²+bx．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=2x-1，求a，b的值；
（2）若2a+b+1=0，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义和切线方程可得：f′（1）=2，f（1）=2×1-1=1=a+b，联立解得即可；
（2）利用导数的运算法则可得f′（x），通过对

1

2a

与1的大小关系即可得出．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

+2ax+b，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=2x-1，
∴f′（1）=2，f（1）=2×1-1=1=a+b，
联立解得a=0，b=1．
（2）∵2a+b+1=0，
∴b=-1-2a，
∴f′(x)=

1

x

+2ax-1-2a=

2ax2-(1+2a)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

．（x＞0）．
①当a=0时，f′(x)=

1-x

x

，则函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
②当a≠0时，若

1

2a

＞1，则由f′（x）＞0，
解得x＞

1

2a

或0＜x＜1，此时函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得1＜x＜

1

2a

，此时函数f（x）单调递减．
若a＜0，则2ax-1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
若0＜

1

2a

＜1，则由f′（x）＞0，
解得0＜x＜

1

2a

或x＞1，此时函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得

1

2a

＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．
若

1

2a

=1，此时f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，函数f（x）在R上单调递增．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、几何意义及其切线方程等基础知识与基本技能，属于难题．