Question

已知函数f(x)=(

1

ax-1

+

1

2

)x，(a＞0且a≠1)．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）求实数a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使函数有意义，只需a^x-1≠0；
（Ⅱ）利用函数奇偶性的定义即可判断；
（Ⅲ）问题等价于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，对不等式化简可求；

解答：解：（Ⅰ）由a^x-1≠0，得x≠0，
所以函数的定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数定义域关于原点对称，
且f（-x）=(

1

a-x-1

+

1

2

)(-x)=-x(

ax

1-ax

+

1

2

)
=x(

ax

ax-1

-

1

2

)=x(1+

1

ax-1

-

1

2

)
=x(

1

ax-1

+

1

2

)=f（x），
所以f（x）为偶函数；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数为偶函数，问题等价于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即

1

ax-1

+

1

2

＞0恒成立，
亦即

ax+1

2(ax-1)

＞0，所以a^x-1＞0即a^x＞1在（0，+∞）上恒成立，
所以a＞1，故实数a的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断及其应用，考查恒成立问题，考查转化思想，属中档题．