Question

已知函数f（x）=a^x-xlna，其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a＞1，求函数f（x）在〔-1，1〕上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的导数为y′的解析式，对实数a分类讨论后，分别令y′＞0，y′＜0，求得单调区间．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（-1，0）单调递减，在（0，1）在单调递增，故f（x）_min=f（0）=1，f（x）_max=max{f（1），f（-1）}，
再利用函数的导数，分0＜a＜1或a＞1，分别得到函数f（x）在[-1，1]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=a^x-xlna，
∴f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
当a＞1时，lna＞0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＞0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＜0，解得x＜0；
当0＜a＜1时，lna＜0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＜0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＞0，解得x＜0；
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（-1，0）单调递减，在（0，1）在单调递增，
∴当x=0时f（x）取得最小值，
即f（x）_min=f（0）=1，
f（x）_max=max{f（1），f（-1）}
又f（1）=a-lna，f（-1）=

1

a

+lna，
则f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna．
设g（a）=a-

1

a

-2lna，则g′（a）=(

1

a

-1)2在a＞0且a≠1时恒成立，
∴当0＜a＜1时，g（a）＜g（1）=0，即f（1）＜f（-1），
∴f（x）_max=f（-1）=

1

a

+lna；
当a＞1时，g（a）＞g（1）=0，
即f（1）＞f（-1），
f（x）_max=f（1）=a-lna，
综上可知，函数f（x）在[-1，1]上的最小值为f（0）=1；
当0＜a＜1时，函数f（x）在[-1，1]上的最大值为f（-1）=

1

a

+lna，
当a＞1时，函数f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=a-lna．

点评：本题考查导数知识的运用，函数的单调性，查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，化归与转化思想．数形结合的思想，综合性强．