Question

在等比数列{a_n}中，a₂a₃=32，a₃=32．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，依题意，列出关于首项与公比的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）易求b_n=log₂a_n=n，利用裂项法可求得

1

bnbn+1

=

1

n

-

1

n+1

，从而可求得数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为S_n．

解答：解：（Ⅰ）设求数列{a_n}的公比为q，依题意

a1q•a1q2=32 a1q4=32

，解得a₁=2，q=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ，
∴b_n=log₂a_n=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式的应用，突出裂项法求和的应用，属于中档题．