Question

已知函数

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围；

（3）若对任意，且恒成立，求的取值.

 

Answer 1

（1）；（2）;(3) .

【解析】

试题分析：（1）曲线在点处的切线斜率，等于函数在该点的导数值.

（2）遵循“求导数、求驻点、讨论区间导数值的正负、确定极值”等步骤，

通过讨论，，，时函数的单调性，确定得到最小值，

确定的取值范围.

（3）根据题目的条件结构特征，构造函数，即，

只要在上单调递增即可.

通过研究

讨论，，得到在上单调递增；

当时，只需在上恒成立，因为，将问题转化成只要，从而，利用一元二次不等式的知识，得到实数的取值范围.

本题突出利用了“转化与化归思想”.

试题解析：（1）当时，，

∵，

∴曲线在点处的切线方程是；

（2）函数x的定义域是．

当时，

令，得或．

当，即时，在上单调递增，

所以在上的最小值是；

当时，在上的最小值是，不合题意；

当时，在上单调递减，

所以在上的最小值是，不合题意．

综上，a≥1；

（3）设，则，

只要在上单调递增即可。 10分

而

当时，，此时在上单调递增； 11分

当时，只需在上恒成立，因为，只要，

则需要， 12分

对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，

即. 综上. 14分

考点：利用导数研究函数的单调性、极值，导数的几何意义，直线方程.