Question

【题目】（本小题满分为16分）已知函数．

（1）若，求函数的极值，并指出极大值还是极小值；

（2）若，求函数在上的最值；

（3）若，求证：在区间上，函数的图象在的图象下方．

Answer 1

【答案】（1）极小值是，无极大值．

（2）

（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由求函数极值步骤依次求解：先确定定义域，再求导函数，在定义域内求导函数零点，列表分析函数单调性变化规律，由函数极值定义得出结论（2）由求函数最值步骤依次求解：先确定定义域，再求导函数，在定义域内求导函数零点，列表分析区间端点函数值及导数为零的点函数值的大小，得出结论（3）先将函数图像问题转化为一个不等式恒成立问题：，利用导数研究左边函数最小值，即可解决问题.

试题解析：（1）的定义域是

当时在上递减；

当时 在上递增，

的极小值是，无极大值．

（2）恒成立对，

在上递增，

（3）证明：令

在上恒成立，

在区间上递减，

在区间上，函数的图象在的图象下方