Question

5．方程$\frac{x^2}{4-t}+\frac{y^2}{t-1}=1$表示曲线C，有下列命题①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4，②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4，③曲线C不可能是圆，④若曲线C表示椭圆且长轴在x轴，则$1＜t＜\frac{3}{2}$，则以上命题正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 1个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据曲线方程的特点，结合椭圆双曲线的标准方程分别判断即可．

解答 解：①当1＜t＜4且t≠$\frac{5}{2}$时，曲线表示椭圆，所以不正确；
②若曲线C表示双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，解得t＞4或t＜1，所以正确；
③t≠$\frac{5}{2}$时，曲线C表示圆，不正确；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0，解得1＜k＜$\frac{5}{2}$，所以不正确．
故选：C．

点评 本题主要考查圆锥曲线的方程，根据椭圆和双曲线的标准方程和定义是解决本题的关键．