Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，
（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣1时，函数表达式是f（x）=x2﹣2x+2，

∴函数图象的对称轴为x=1，

在区间（﹣5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数．

∴函数的最小值为[f（x）]min=f（1）=1，

函数的最大值为f（5）和f（﹣5）中较大的值，比较得[f（x）]max=f（﹣5）=37

综上所述，得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1

（2）解：∵二次函数f（x）图象关于直线x=﹣a对称，开口向上

∴函数y=f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a]，单调增区间是[﹣a，+∞），

由此可得当[﹣5，5]（﹣∞，﹣a]时，

即﹣a≥5时，f（x）在[﹣5，5]上单调减，解之得a≤﹣5．

即当a≤﹣5时y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数

【解析】（1）当a=﹣1时f（x）=x2﹣2x+2，可得区间（﹣5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数．由此可得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1；（2）由题意，得函数y=f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a]，由[﹣5，5]（﹣∞，﹣a]，可得﹣a≥5，解出a≤﹣5，即为实数a的取值范围．